孪生素数

孪生素数是指一对素数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生素数。

孪生素数猜想，即是否存在无穷多对孪生素数，是数论中未解决的一个重要问题。哈代-李特尔伍德猜想（Hardy-Littlewood conjecture）是孪生素数猜想的一个增强形式，猜测孪生素数的分布与素數定理中描述的素数分布规律相类似。

与之相关的，两者相差为1的素数对只有 (2, 3)；两者相差为3的素数对只有 (2, 5)。

序列

以下列出了最小的35对孪生素数： (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

至2006年，已知最大的孪生素数为 100314512544015 · 2¹⁷¹⁹⁶⁰ ± 1，由匈牙利人Zoltán Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, Janos Kasza, Antal Járai发现。这两个数都有51780位。

性质

• 收敛性

使用著名的筛选理论（Sieve theory），挪威的布朗（Viggo Brun，Viggo Brun）发现小于 x 的孪生素数的个数远小于 $x/(logx)^{2}$。这表明，所有孪生素数的倒数之和收敛，即收敛到布朗常数（Brun's constant）。与之相对的，所有素数的倒数之和是发散的。布朗还证明了所有偶数能表示成两个最多有9个素数因子的数的和（“9+9”）。这些工作是陈景润证明“1+2”的基础。

• 结构

大于3的孪生素数可以表示成 (6n - 1, 6n + 1)，其中n为一个自然数。除了 n = 1 的情形，n必须以0，2，3，5，7或8结尾。

• 定理

可以证明 (m, m + 2) 是孪生素数，当且仅当

$4((m-1)!+1)=-m\mod (m(m+2))$

• 统计分析

统计分析所有小于 4.35 · 10¹⁵ 的孪生素数，可以得到小于 x 的素数对的个数是 x·f(x)/(log x)²。当 x 较小时，f(x) 大约为 1.7， 当 x 较大时大约为 1.3。f(x) 的值和孪生素数常数（twin prime constant）相近：

$2\prod _{p\geq 3}(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}})=1.3203236\ldots$

多元组

孪生素数的概念可以扩展到多元组，即由多个间隔为2的素数构成的序列。由于三个相邻整数总有一个能被3整除，不可能是素数，因此 (3, 5, 7) 是唯一的孪生素数三元组。而且由于更多元素构成的孪生素数多元组必定包含三元组的结构，因此多于三个元素的孪生素数多元组不存在。

猜测与证明

1921年，英国数学家哈代和李德伍兹曾猜测，如果：$A_{2}(x)\ldots$代表不大于x的孪生素数个数，则有：$A_{2}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(lnt)^{2}}}\ldots$，其中：$2C_{2}=2\prod _{p\geq 3}(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}})=1.3203236\ldots$

参见

• 孪生素数猜想
• 数学相关主题列表

外部链接

• 素数对之谜