高斯-博内定理

适用高斯-博内定理的复杂区域的一个例子。标示了测地曲率。

在微分几何中，高斯-博内定理（亦称高斯-博内公式）是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述。它是以卡尔·弗里德里希·高斯和皮埃尔·奥西安·博内命名的，前者发现了定理的一个版本但从未发表，后者1848年发表了该定理的一个特例。

定理内容

设$M$是一个紧的二维黎曼流形，$\partial M$是其边界。令$K$为$M$的高斯曲率，$k_{g}$为$\partial M$的测地曲率。则有

$\int _{M}K\;dA+\int _{\partial M}k_{g}\;ds=2\pi \chi (M),\,$

其中dA是该曲面的面积元，ds是M边界的线元。此处$\chi (M)$是$M$的欧拉示性数。

如果$\partial M$的边界是分段光滑的，我们将$\int _{\partial M}k_{g}\;ds$视作光滑部分相应的积分之和，加上光滑部分在曲线边界上的转过的角度之和。

一般化的高斯-博內定理

廣義高斯-博內定理(generalized Gauss–Bonnet theorem)成立於偶數維數的閉黎曼流形。在偶數維數的閉黎曼流形，歐拉示性數仍然可以表達爲曲率多項式的積分。

公式：

$\int _{M}{\mbox{Pf}}(\Omega )=(2\pi )^{n}\chi (M)\$。

這是對於高維空間的直接推廣。

例如在四維空間：

$\chi (M)={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\int _{M}\left(|Rm|^{2}-4|Rc|^{2}+R^{2}\right)d\mu$

二維高斯-博内定理的操作式證明

由於文獻證得微型指南車就是一台能遂行列維-奇維塔向量平行移動的機器(Machine of parallel transport, or parallel-transporter)，今吾人可利用此一特性，操作一台微型指南車，使其純滾動行駛於緊緻定向的二維曲面(黎曼流形)的小區域，且車頭方向永遠保持與行駛路徑相同方向，這就等同於該路徑上的切向量，使得微型指南車平台中央都會劃過曲面路徑的一點，那麼微型指南車平台就恰似該點的切平面，則其車架就相當於一個活動標架，現令此車行駛分段光滑單連通封閉路徑如下圖所示：

用於"二維高斯-博内定理的操作式證明"

當此車行駛分段光滑封閉路徑回到原出發處且車架回正同剛出發時狀態，那麼由文獻可證得該微型指南車其指向器之幾何相位方程如下：

$\delta =2\pi -\int _{A}K\;dA,\,$ 其中 $\delta =\int _{\partial A}k_{g}\;ds+\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}$

上式中的 $\delta$ 定義為微型指南車經歷巡迴路程中指向器的幾何相位，其組成有兩項，全部是由微型指南車所貢獻，一項是微型指南車平移時反應測地曲率而給於指向器的偏轉角，另一項則是微型指南車車頭行駛方向經轉折處時，車頭需要於該點調整拐角的外角和，將此兩項統合起來，就是觀察者乘坐於微型指南車行駛於曲面時，從車架上觀察指向器相對於車頭方向的角度變化，以物理學角度可說 $\delta$ 是在非慣性系觀察所得的指向器偏轉量。

如將前述微型指南車其指向器之幾何相位方程稍作歸整，很容易發現該幾何相位方程就是如下列所示之局部高斯-博内公式(local Gauss -Bonnet formula)：

$2\pi =\int _{A}K\;dA+\int _{\partial A}k_{g}\;ds+\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}$

如推廣至整體二維黎曼流形，就能得到如前頭揭示適用高斯-博內定理的複雜區域和拓撲（由歐拉示性數表徵）間聯繫的一項重要表述，這在微分幾何著作中容易找到相關證明。1827年，高斯證明了這一定理。1848年，博內將這一定理推廣到一般曲面上，由任一閉曲線所圍成的單連通區域，形成了前述著名的高斯—博內公式。1944年，陳省身大師給出了高維裡高斯-博內定理的一個內蘊證明。用指南車，也能給出二維高斯-博内定理的操作式證明。

外部链接

• 高斯-博内定理