五角数

五邊形數是能排成五邊形的多邊形數。其概念類似三角形數及平方數，不過五邊形數和三角形數及平方數不同，所對應的形狀沒有旋轉對稱（Rotational symmetry）的特性。

第$n$個五邊形數可用以下公式求得

$p_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}$

且$n>0$。

首幾個五邊形數為1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117... (OEIS:A000326)，其奇偶排列是「奇奇偶偶」。

第$n$個五邊形數是第$3n-1$個三角形數的${\frac {1}{3}}$。首$n$個五邊形數的算術平均數是第$n$個三角形數。

五邊形數測試

利用以下的公式可以測試一個正整數x是否是五邊形數（此處不考慮廣義五邊形數）：

$n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.$

• 若n是自然數，則x是五邊形數，而且恰為第n個五邊形數。
• 若n不是自然數，則x不是五邊形數。

用五邊形數的和來表示整數

依照費馬多邊形數定理，任何整數都可以表示為不超過5個五邊形數的和。但大多數的整數都可以表示不超過3個五邊形數的和。在小於$10^{6}$的整數中，只有以下6個整數需用5個五邊形數的和來表示：

9, 21, 31, 43, 55, 89 (OEIS:A133929)

而以下210個整數需用4個五邊形數的和來表示：

4, 8, 9, 16, 19, 20, ..., 20250, 33066 (OEIS:A003679)

廣義五邊形數

廣義五邊形數的公式和五邊形數相同，只是n可以為負數和零，n 依序為0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4...，廣義五邊形數也可以用下式表示：

$p_{n}={\frac {3n^{2}\pm n}{2}}$

n 依序為0, 1, 2, 3, 4...，

其產生的數列如下：

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (OEIS:A001318)

在歐拉的整數分拆理論中，五邊形數定理說明廣義五邊形數和整數分拆的關係。

用第n個五邊形數（n>2）排列組成的正五邊形，外圍點的個數有$5(n-1)$個，因此在內部的點個數為：

${\frac {3n^{2}-n}{2}}-5(n-1)={\frac {3n^{2}-11n+10}{2}}={\frac {(3n-5)(n-2)}{2}}={\frac {3(n-2)^{2}+(n-2)}{2}}$

剛好也是一個廣義五邊形數。

所有的整數都可以表示成不超過3個廣義五邊形數的和。

若三角形數可以被3整除，則除以3之後的數必為廣義五邊形數。

廣義五邊形數和中心六邊形數

廣義五邊形數和中心六邊形數有密切的關係。將中心六邊形數以陣列的方式排出，並且從中間將正六邊形分為二個梯形，較大的梯形可以表示為五邊形數，而較小的梯形可以表示為廣義五邊形數，因此中心六邊形數可以表示為二個廣義五邊形數的和（五邊形數也是廣義五邊形數的一種）：

1=1+0		7=5+2		19=12+7		37=22+15

一般來言：

$3n(n-1)+1={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)+{\tfrac {1}{2}}(1-n)[3(1-n)-1]$

等式右側為二個廣義五邊形數，且第一項是五邊形數(n ≥ 1)。

參見

• 功課數
• 五邊形數定理

參考資料

• Leonard Euler: On the remarkable properties of the pentagonal numbers

外部連結

• Pentagon, Kartenhaus und Summenzerlegung（德文）