對偶線性規劃

一个线性规划问题（“原问题”）的对偶线性规划问题（“对偶问题”）是另一个线性规划问题，由原问题以一定方式派生而来：

• 原问题中的每个变量都变为对偶问题中的一个限制条件；
• 原问题中的每个限制条件都变为对偶问题中的一个变量；
• 原问题若是求目标函数的最大值，则对偶问题是求最小值，反之亦然。

对偶问题的构建方法

对于以下形式的两个线性规划问题：

问题甲	问题乙
最大化目标函数 $\max _{x}c^{T}x=\max _{x}\sum _{i}c_{i}x_{i}$	最小化目标函数 $\min _{y}b^{T}y=\min _{y}\sum _{i}b_{i}y_{i}$
n个变量$x_{1},\ldots ,x_{n}$ $x_{i}\geq 0$ $x_{j}\leq 0$ $x_{k}\in \mathbb {R}$	n个限制条件$A^{T}y\lesseqqgtr c$ 第i个限制条件为$\geq c_{i}$ 第j个限制条件为$\leq c_{i}$ 第k个限制条件为$=c_{i}$
m个限制条件$Ax\lesseqqgtr b$ 第i个限制条件为$\geq b_{i}$ 第j个限制条件为$\leq b_{i}$ 第k个限制条件为$=b_{i}$	m个变量$y_{1},\ldots ,y_{m}$ $y_{i}\leq 0$ $y_{j}\geq 0$ $y_{k}\in \mathbb {R}$

我们称甲、乙互为对偶问题，即：甲为乙的对偶问题，乙为甲的对偶问题。由此定义可知，原问题是其对偶问题的对偶问题。

特别地， 若所有限制条件的符号方向相同，我们有以下形式：

名称	问题甲	问题乙
对称对偶问题	Maximize cTx 满足 Ax ≤ b, x ≥ 0	Minimize bTy 满足 ATy ≥ c, y ≥ 0
非对称对偶问题	Maximize cTx 满足 Ax ≤ b	Minimize bTy 满足 ATy = c, y ≥ 0
	Maximize cTx 满足 Ax = b, x ≥ 0	Minimize bTy 满足 ATy ≥ c

例子

以下甲乙互为对偶问题。

问题甲	问题乙
${\begin{aligned}{\text{maximize }}&3x_{1}+4x_{2}\\{\text{s.t. }}&5x_{1}+6x_{2}=7\\&x_{1}\geq 0,x_{2}\geq 0\end{aligned}}$	${\begin{aligned}{\text{minimize }}&7y_{1}\\{\text{s.t. }}&5y_{1}\geq 3\\&6y_{1}\geq 4\\&y_{1}\in \mathbb {R} \end{aligned}}$

对偶定理

对于互相对偶的最大化问题甲与最小化问题乙，我们有如下两个定理。

弱对偶定理

若$x\in \mathbb {R} ^{n}$、$y\in \mathbb {R} ^{m}$分别满足问题甲、乙的限制条件，则：$c^{T}x\leq b^{T}y$。

强对偶定理

若$x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}$、$y^{*}\in \mathbb {R} ^{m}$分别满足问题甲、乙的限制条件，则：$x^{*},y^{*}$分别为问题甲、乙的最优解（即$x^{*}=\operatorname {argmax} _{x}c^{T}x$，$y^{*}=\operatorname {argmin} _{y}b^{T}y$），当且仅当$c^{T}x^{*}=b^{T}y^{*}$。

换言之，若甲、乙均有解，则$\max _{x}c^{T}x=\min _{y}b^{T}y$。

无限值解与无解问题

由对偶定理，不难得出以下结论：

• 若原问题有无限值解，则其对偶问题无解；
• 若对偶问题有无限值解，则其原问题无解。

但是，原问题和对偶问题可同时无解。

对偶问题的解读

现实角度

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几何角度

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